= {\displaystyle \ g^{ij}} x δ i V K ( l ) − δ g Γ   g = 2 − D   0 La mesure de la gravitation, qui influe sur les géodésiques, peut se faire à travers la différence d'orientation entre deux vecteurs résultant du transport d'un seul vecteur d'origine par deux chemins géodésiques différents vers un même point final. ∫ ( g {\displaystyle \ R_{ij}=\chi \left(T_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}T\right)}. {\sqrt {-g}}.\delta g_{ij}d\Omega }. l Dans ce cas, la seule composante de l'action est la composante du champ gravitationnel i i d = En 1915, David Hilbert a démontré les équations de la gravitation de la relativité générale à l'aide du principe de moindre action. k J 2 qui ne soit pas causée, et donc pas compensable au-delà d'un domaine local de l'espace-temps, par un changement de référentiel implique que l'espace-temps n'est pas euclidien (voir l'expérience par la pensée du disque en rotation, décrit dans relativité générale), et que l'on sort alors du cadre de la relativité restreinte pour construire une nouvelle théorie : la relativité générale. ( Discussion. x − La ligne d'univers que l'on … g 2 V = i Ω S V − 0 x i e INTRODUCTION 2. D   j {\displaystyle {\dot {V}}_{m}+\Gamma _{m}^{ij}V_{i}V_{j}=0}, d x j Patrick VAUDON : Principe de moindre action. l'action dans deux référentiels différents. i i . en supposant que la variation des A ) Le problème de ta théorie newtonienne, c’est cette mystérieuse action à distance de la force. Ω j 0 ′ 1916 : réecriture des équations de la relativité générale par Hilbert. i − x l l j k {\displaystyle \ d\Omega '=dx'_{0}.dx'_{1}.dx'_{2}.dx'_{3}=J.dx_{0}.dx_{1}.dx_{2}.dx_{3}}. i j j . p d   g i i 1 , ce qui ne signifie pas que l'espace est plat, mais plutôt qu'il s'agit d'une surface minimale à quatre dimensions, tendue entre les différentes masses qui y évoluent. i En vertu du principe d'équivalence d'Einstein, la gravitation est localement équivalente au choix d'un référentiel accéléré. s = Particule dans un champ électromagnétique, Densité lagrangienne dans l'espace courbe, Définitions des tenseurs de Riemann, de Ricci, et de la courbure, Une application du principe d'inertie dans l'espace courbe. ) La relativité restreinte n'a cependant pas résolu tous les problèmes. i g Λ d A Les géodésiques sont les chemins qui maximisent (localement) le temps propre de la particule. x 3 j g c Elle suffit pour déterminer les équations du mouvement dans ce référentiel du fait du principe de moindre action en relativité restreinte. 2 Les équations d'Einstein dans le cas extérieur sont donc : R j Or : i k ] i Ceci est une conséquence de la théorie de la relativité … D i RELATIVITÉ - Relativité générale. {\displaystyle dS=-mc{\sqrt {g^{ij}dx_{i}dx_{j}}}}. Γ l   g δ j David Hilbert découvre le relativité générale en 1915/1916 quasiment en même temps qu'Einstein mais par un raisonnement mathématique diffèrent du raisonnement physique d'Einstein. 0 1 δ l {\displaystyle \ {\frac {d~~}{dt_{0}}}{\frac {\partial L_{0}}{\partial V_{k}}}\ -\ {\frac {\partial L_{0}}{\partial x_{k}}}\ =\ 0~~} Afin de formuler ce principe plus précisément, on définit un ré férentiel, c’est-à-dire une origine et 3 axes par rapport auxquels on repère la position de tout point matériel, comme illustré sur la figure 1. ∂ s + ′ − Pour que notre travail soit bien une conséquence du principe de moindre action, la méthode utilisée ici consiste à déterminer les propriétés de la variété à partir de la métrique de ses espaces tangents. {\displaystyle \ R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0}. − d ( La théorie de la relativité (ou plutôt les théories de la relativité) va (vont) se construire en assimilant l’héritage de la mécanique newtonienne dans un cadre plus vaste, plus général. δ K Il y a exactement 100 ans, le 25 novembre 1915, le physicien Albert Einstein, âgé de 36 ans, lut la quatrième et dernière conférence à l'Académie des sciences de Prusse sur sa nouvelle théorie générale de la relativité. 2004. ï¿¿cel-00092961ï¿¿ 1 Pr etirage INLN 2004/17 RELATIVITE GENERALE POUR DEBUTANTS Michel Le Bellac Cours donn e aux Rencontres non lin eaires de Peyresq Mai 2004 R esum e. Ce cours a pour objectif d’exposer a un public non initi e les id ees de base de la relativit e g en … 1 c j Les équations du mouvement ne dépendent pas de la masse de la particule (nommée ainsi car nous avons négligé son étendue spatiale et son influence sur son environnement) : toutes les particules suivent les mêmes trajectoires (à conditions initiales identiques), c'est l'équation des géodésiques en relativité générale, en présence de la seule gravitation. DEA. La théorie de la Relativité Générale est née ! δ i ′ {\displaystyle R_{i}^{jkl}=\partial ^{j}\Gamma _{i}^{lk}-\partial ^{l}\Gamma _{i}^{jk}+\Gamma _{p}^{lk}\Gamma _{i}^{jp}-\Gamma _{p}^{jk}\Gamma _{i}^{lp}}. e {\displaystyle \ ds^{2}=g^{ij}(x)x_{i}x_{j}=g^{ij}x_{i}x_{j}} 2 j d   j − = . − ; x j 2 k T − ∂ j s i 2 δ i d R ï¿¿jpa- 00215349ï¿¿ JOURNAL DE PHYSIQUE Coiloque C7, supplémelît au tzO 1 1-1 2, … ] k −   G quelconque : d = DEA. sont les coordonnées des points de la variété, munie d'un système de coordonnées quelconque, représentant le choix arbitraire du référentiel physique de l'observateur. 0 En relativité restreinte le temps et l’espace ne sont plus indépendants et leurs … Λ i = j j 2 g , on a, δ   i   En 1915, Hilbert a démontré les équations de la gravitation de la relativité générale à l'aide du principe (Einstein les a trouvées par une autre méthode), et Richard Feynman, en 1942, a proposé une nouvelle formulation du principe, dans sa thèse de doctorat intitulée Le Principe de moindre action en mécanique quantique, … k i i i {\displaystyle \delta S_{g}=K.\int \delta \left({\sqrt {-g}}.g_{ij}.R^{ij}\right)d\Omega } ) 2 {\frac {\partial x'_{j}}{\partial x_{l}}}g'^{ij}\to g=J^{2}.g'} k . . ( j j d d i la « restreinte » ne s’applique qu’aux objets en mouvement uniforme et non accéléré. | i V étant dû au principe de minimisation de l'action. Γ − Γ j l A General relativity generalizes special relativity and refines Newton's law of universal gravitation, providing a unified description of gravity as a geometric property of space and time or four-dimensional spacetime. → x Chapitre 6. Dans le cadre de la relativité restreinte, en prenant un référentiel accéléré (coordonnées V R x i d Si les équations de la relativité générale sont données, on peut en déduire l'action permettant d'appliquer le principe. {\displaystyle d{\vec {A}}(x)=(dA_{i}){\vec {e}}^{~i}+A_{i}d({\vec {e}}^{~i})=(\partial ^{j}A_{i}+A_{k}\Gamma _{i}^{jk}){\vec {e}}^{~i}dx_{j}=D^{j}A_{i}. 2 − x i ) ( g R {\displaystyle =K[\int \delta ({\sqrt {-g}})g_{ij}R^{ij}d\Omega +\int {\sqrt {-g}}.\delta (g_{ij}).R^{ij}d\Omega +\int {\sqrt {-g}}.g_{ij}.\delta (R^{ij})d\Omega ]}, On a Γ ) impose une métrique aux coefficients non triviaux : = et les variations j g j RELATIVITÉ GÉNÉRALE par David SÉNÉCHAL Ph.D., Professeur Titulaire UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE Faculté des sciences Département de physique (26 septembre 2020) g ) La Relativité Générale La théorie de la gravitation de Newton, publiée en 1687 dans les "Principia Mathematica", a expliqué la chute des corps, le mouvement des planètes autour du soleil, le modèle Copernicien du système solaire, le mouvement des comètes, les lois empiriques de Képler. − ∫ Approche lagrangienne de la relativité générale 103 6.1 Retour sur le principe de moindre action 103 6.1.1 Principe de moindre action en mécanique du point 103 6.1.2 Principe de moindre action en théorie de champ 104 6.2 Action de Einstein-Hilbert 104 6.3 Dérivation des équations d’Einstein 107 6.3.1 Secteur gravitationnel 107 i . l La relativité générale est une théorie relativiste de la gravitation, c'est-à-dire qu'elle décrit l'influence sur le mouvement des astres de la présence de matière et, plus généralement d'énergie, en tenant compte des principes de la relativité restreinte. i j d These attempts can be split into four broad categories based on their scope. ) Cf. g {\displaystyle \ -mc} . {\displaystyle \ g^{ij}=g^{ji}} {\displaystyle g^{ik}{\dot {V_{i}}}+{\frac {1}{2}}. D ( x = j ; x k . ; 1 R g   D − ).   c ( n + g j j ) Γ ∂ = est un tenseur (contrairement au symbole de Christoffel). 0 g En 1905 Einstein met à jour deux dualités : « l’espace-temps » et la masse« -énergie ». LES THÉORIES DE LA GRAVITATION FACE A LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE. où RELATIVITÉ GÉNÉRALE S. Mavrides To cite this version: S. Mavrides. Celui de relativité restreinte (qui a remplacé la relativité galiléenne) spécifie la structure cinématique de l'espace-temps. {\displaystyle \ R=g_{ij}R^{ij}} j ∫ l {\displaystyle ~\quad {\sqrt {-g}}.g_{ij}.\delta R^{ij}={\sqrt {-g}}.D^{l}\left(g_{ij}.\delta \Gamma _{l}^{ij}-g_{lj}.\delta \Gamma _{i}^{ij}\right)={\sqrt {-g}}.D^{l}A_{l}} )   relativité générale, pensée en 1915, sont essentiellement des théories de l’espace-temps qui ont remplacé les concepts d’espace absolu et de temps absolu de Newton.   l l l − j g 1 g relativité générale, l’espace-temps3 est représenté par une paire (M, g), où M est une variété 2 Voir par exemple Hawking et Ellis (1973) et Wald (1984). J Eisenstaedt, The low water mark of general relativity, 1925-1955, in Einstein and the history of general relativity (Boston, MA, 1989), 277-292. {\displaystyle \ L=\Lambda .|g|^{\frac {1}{2}}}. . j g ′ Le principe de moindre action... Joseph-Louis Lagrange 1736-1813 Sir William Rowan Hamilton 1805-1865 Adrien-Marie Legendre 1752-1833. − i k [D^{l}\left(g_{ij}.\delta \Gamma _{l}^{ij}\right)-D^{i}\left(g_{ij}.\delta \Gamma _{l}^{lj}\right)]}, car ′ Le principe d'équivalence permet de dire qu'un champ gravitationnel réel (non dû au choix du référentiel) est aussi déterminé par la métrique {\displaystyle \ {\frac {d~~}{dt_{0}}}\left({\frac {g^{ik}V_{i}}{\sqrt {g^{ij}V_{i}V_{j}}}}\right)={\frac {1}{c}}.