Développer d'abord sous la forme $((a+b)+c)^7$. On calcule ceci d'une autre façon en utilisant la formule de Newton : Soit $x\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N^*$. Exercices de mathématiques corrigés pour des TS sur des calculs de sommes et produits où un raisonnement par récurrence intervient. Algèbre 1 cours et 600 exercices corrigés 1re année MPSI PCSI PTSICours de mathématiques Tome 5 Jean-Marie Monier (Auteur) Editeur Dunod; Parution 10/04/1996; En stock vendeur partenaire. Par le binôme de Newton, . Exercice 5.9 $$\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)! De même, Corrigé: Vrai. \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} $$P_n(1)=\prod_{k=1}^n \frac{k+1}k=\frac{2\times 3\times\dots\times (n+1)}{1\times 2\times\dots\times n}={n+1}.$$, On a On écrit que Voyons d'abord pourquoi la formule est vraie pour $a_n$. Simplifier les nombres complexes suivants : $(1+i)^5$, $(1-i)^4$. \end{eqnarray*} 5x13 b. Laquelle? (1+x)^m&=&(1+x)^{q}(1+x)^{m-q}\\ Supposons qu'elle est vraie au rang $n$ et prouvons-la L'exploitation des fichiers source nécessite une certaine aisance avec LuaTeX et les macros de montchapet. Démontrer que $$\sum_{k=p}^n \dbinom{k}{p}=\dbinom{n+1}{p+1}.$$. Si $k=2p+1$ est impair, $i^k$ est imaginaire pur et vaut $(-1)^p i$. \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} Par le binôme de Newton, . Corollaire 2.1.1 Si P an converge mais P bn diverge, alors P (an +bn) diverge. On en déduit que Ce pourquoi nous sommes présentement en période de financement. &=&\sum_{k=0}^n A_k B_k-\sum_{k=0}^{n-1} A_k B_{k+1}\\ Les sommes partielles sont bornées et la suite est décroissante et tend vers . Démontrer qu'il existe deux entiers $x_n$ et $y_n$ tels que $$\frac{\binom np}{\binom n{p+1}}=\frac{n(n-1)\dots(n-p+1)}{p! En déduire que les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont strictement croissantes. On aurait aussi pu obtenir ce résultat en mettant le nombre complexe sous forme trigonométrique. Pour chaque entier $k$ dans $\{1,\dots,n\}$, on a $k!\leq n!$. \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} Tous les membres de l'équipe EXO7 … &=&\ln(n+1)-\ln(1)\\ Question 2 Si , . Le résultat est nul si et égal à 1 si . \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} On a Si $p\leq n$, alors on a $$\binom mp=\sum_{j=0}^q \binom qj\times \binom{m-q}{p-j},$$ S_i&=&\sum_{j=1}^i j+\sum_{j=i+1}^n i\\ Il donne $$\left(\sum_{k=0}^{2n} u_{k}\right)+n=\frac{1+2^{2n+1}}3+n.$$ D'autre part, on a \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mtn^*$, on a Feuille 3 “Logique et raisonnement”: Exos 1, 2 et 3. Il suffit de remarquer que $2^n=(1+1)^n$, et de développer ceci en utilisant la formule du binôme. On intègre ensuite cette formule entre $0$ et $x$, et on trouve On regroupe les termes comme précédemment, sachant que pour les termes entiers, on a $n-k$ pair et donc $(-1)^{n-k}=1$ et pour les termes de la forme $m\sqrt 2$, on a $n-k$ impair Démontrer que $p!$ divise tout produit de $p$ entiers naturels consécutifs. 1. Pour vous aider, vous trouverez sur le site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés. Voici les énoncés et les corrigés des 20 exercices d'algèbre sur 37 qui peuvent être traités en maths sup. On obtient deux sommes. Démontrer que \begin{eqnarray*} Vendu par momox. soit &=&\sum_{k=0}^n \frac1{k+2}-\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k+2}\\ Exo7 Les rationnels, les réels Exercices de Jean-Louis Rouget. \end{eqnarray*}, On pose $a_k=2^k$ et $B_k=k$. En séparant les parties réelles et imaginaires, on trouve $$(x-1)^6=x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1.$$, On fait de même, en utilisant $i^2=-1$ pour simplifier et regrouper partie réelle et partie imaginaire. Dans chaque produit, il y a le terme 5 qui ne dépend pas de $i$ et qu'on peut extraire du produit. &=&\frac{(x+1)(x+2)\dots (x+n)}{1\times 2\times\dots\times n}\\ }-\frac 1{n! Elle est présente tout autour de nous et nous offre des possibilités infinies. La bonne réponse est c. (Si vous n'êtes pas convaincu, essayez le calcul avec $n=2,3,...$). Exo7 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Corrections de Léa Blanc-Centi. \end{eqnarray*}, On a On détermine ensuite la limite en de et … Exemples de produits de convolution 79 15. $$A_n=\sum_{k=0}^n a_k,\quad\quad b_n=B_{n+1}-B_n.$$, Coefficients binômiaux - formule du binôme. \begin{eqnarray*} &=&\frac{n(n+1)(2n+1)}6. la formule du binome de Newton, il est égal à $\binom{m}{p}$. Exercice 4 Décomposition en éléments simples dans de . Pour s'entrainer: Le site Exo7 et l' Archive. Navigation interactive adaptée aux ordinateurs, tablettes, smartphones. $$\sum_{k=0}^{n} u_{2k}=\sum_{k=0}^n 4^k=\frac{1-4^{n+1}}{1-4}=\frac{4^{n+1}-1}3.$$ &=&(2^{n+1}-1)n-2(2^n-1)+n\\ √ √ 1. Or, P_n(x)&=&\prod_{k=1}^n \frac{x+k}k\\ \begin{eqnarray*} }.$$, On a . On commence par développer en écrivant $(a+b+c)^7=((a+b)+c)^7$. Un produit de $p$ entiers naturels consécutifs s'écrit $n(n+1)\dots (n+p-1)$. Et dans ce cas, il n'y a qu'une seule solution (c'est le coefficient binômial le plus grand). Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962), La somme $\sum_{k=0}^n 2$ Calculons $\sum_{k=1}^n (1-x_k)^2$ : On a $x_{n+1}-x_n\geq 2x_n>0$ et $y_{n+1}-y_n\geq 2y_n>0$, donc les deux suites sont strictement croissantes. &=&\sum_{j=1}^n j\frac{j(j+1)}2\\ }=\frac np\binom{n-1}{p-1}.$$, On a Par le binôme de Newton, . $$\binom{n}0+\frac12\binom{n}1+\dots+\frac{1}{n+1}\binom{n}{n}.$$, Soient $p,q,m$ des entiers naturels, avec $q\leq p\leq m$. &=&\frac{x+n}xP_n(x-1). \end{eqnarray*}, On commence par remarquer que \end{eqnarray*} Calculer la somme La somme de 7 et de 9 est égale à : a. &=&\frac 12\left(\sum_{j=1}^n j^3+\sum_{j=1}^n j^2\right)\\ $$\frac 1{(k+2)(k+3)}=\frac1{k+2}-\frac 1{k+3}.$$ &=&\frac{n+1}{2n}. $$\sum_{k=1}^n k!\leq (n+1)\times n!=(n+1)!\quad .$$, Pour $n\in\mathbb N^*$ et $x\in\mathbb R$, on note D'une part on a $$\sum_{k=0}^{2n+1} u_{k}=\frac{1-2^{2n+2}}3.$$ Soient $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ deux suites de nombres complexes. &=&\frac{x+n}{x}\times\frac {(x-1+1)(x-1+2)\dots (x-1+n)}{1\times 2\times\dots\times n}\\ C'est un exercice extrêmement classique qu'il faut savoir faire. On commence par mettre $1+i$ sous forme trigonométrique, soit $1+i=\sqrt 2e^{i\pi/4}$. \begin{eqnarray*} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} $$S_n(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.$$ Exercice 2 Soient et deux réels. \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \min(i,j)&=&\sum_{i=1}^n S_i\\ Exo7 : Cours et exercices de mathématiques -- … &=&\ln(n+1). $$\sum_{k=0}^{2n} u_{k};\quad \sum_{k=0}^{2n+1} u_{k};\quad \sum_{k=0}^{n} u_{2k};\quad \sum_{k=0}^{2n} (u_{k}+n);\quad \left(\sum_{k=0}^{2n} u_{k}\right)+n;\quad \sum_{k=0}^{n} u_{k+n};\quad \sum_{k=0}^{n} u_{kn}.$$. $n=2p$. Comme il y a $n$ termes dans le produit, la bonne réponse est b. Écrire Sa note globale est de 5.0 et il a obtenu cette note pour la qualité de son service, sa flexibilité, son rapport qualité-prix, son professionnalisme et son temps de réponse. Convol´ee de probabilit´es de Poisson * 80 Chapitre 5. $$\sum_{k=1}^n (1-x_k)^2=\sum_{k=1}^n 1-2\sum_{k=1}^n x_k+\sum_{k=1}^n x_k^2=n-2n+n=0.$$ x 2 Vidéo [000752] Exercice 2 Une statue de hauteur s est placée sur un piédestal de hauteur p. , 2n\}$ est la réunion des parties deux à deux disjointes $\{2p − 1, 2p\}$ pour $p$ variant de $1$ à $n$. En remplaçant par les valeurs données dans l'énoncé et après réduction au même dénominateur, on trouve . Au bout du chemin, le plaisir de découvrir de nouveaux univers, de chercher à résoudre des problèmes... et d'y parvenir. $$\int_0^x (1+t)^ndt=\int_0^x\sum_{k=0}^n \binom{n}k t^kdt$$ Pour cela, prenons $p\leq n+1$. On procède simplement par récurrence sur $n$. DIVISION EUCLIDIENNE Comme le polynôme am−rXr − am est de degré strictement plus petit que p, on a donc bien ainsi la division euclidienne de Xm −am par Xp −ap. Alors $A_n=2^{n+1}-1$ et $b_k=1$. Exo7 Le binôme. Alors, \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} . Cela montre que la série de terme général ( ) converge. ce qui prouve bien l'égalité voulue. Faire un dessin pour représenter sur quels entiers porte la somme. $$\frac{n+2}{(n+1)! Théorème 1.5 : combinaison linéaire de séries convergentes Soient ∑un et ∑vn des séries réelles ou complexes convergentes, et : ( α,β) ∈ 2 ou 2. $$\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=\frac{(n+3)(n+2)(n+1)!}{(n+1)! \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} $$(1+i)^{4n}=\sum_{k=0}^{4n}\dbinom{4n}{k}i^k.$$ }=\frac{n\times (n-1)! $$T_n(1)=\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}2.$$ Exercice 1. Exo7 c'est aussi la licence exclusive de l'exploitation du nom de deux Champions du Monde de motocross : Jacky Vimond et Yves Demaria . &=&\sum_{k=0}^n A_k B_k-\sum_{k=0}^n A_{k-1}B_k\\ &=&A_n B_n+\sum_{k=0}^{n-1}A_k (B_k-B_{k+1})\\ &=&\left(\sum_{j=0}^q \binom qjx^j\right)\left(\sum_{l=0}^{m-q}\binom{m-q}l x^l\right). Dans cet exercice, il faut faire très attention aux notations, puis appliquer la formule de la somme d'une série géométrique. $$(3-2\sqrt 2)^n=x_n-\sqrt 2 y_n.$$ Pour quelle(s) valeur(s) de $q\in\{0,\dots,n\}$ a-t-on $$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} $(a+b)^6c$. Or, une somme de réels positifs est nulle si et seulement si chacun des termes de la somme est nul. Les séparer et changer d'indice dans l'une des deux sommes. Dans un produit, les 2 facteurs sont 4 et 8. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a D'une part, par $$(x+1)^6=x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1.$$ Calculer d'une autre façon en utilisant la formule du binôme. $$\sum_{k=1}^n k!\leq\sum_{k=1}^n n!=n\times n!$$ {\left(\prod_{k=2}^n k\right)^2}\\ $$\mathbf a.\textrm{ n'a pas de sens}\ \ \mathbf b. Correction: est irréductible, sans partie entière et la décomposition dans du dénominateur est : . Il suffit ensuite de faire $x=1$ pour trouver le résultat : Lycée Chrestien de Troyes MP1819 1 Matrices définies par blocs : sommes et produits Remarque 7.2 £ Découpage d’une matrice en blocs ⁄. ce, Tous droits réservés, Exercices corrigés, Janvier 2013, Joseph Di Valentin. Dans cette première partie nous allons examiner le symbole de sommation et faire le tour des sommes à connaître impérativement.Synopsis :I. Laquelle? &=&\dbinom{n+2}{p+1}\textrm{ (formule du triangle de Pascal)}. En déduire les valeurs de Pour chaque question, une seule réponse est juste. On en déduit que $x_{n+1}=3x_n+4y_n$ et $y_{n+1}=2x_n+3y_n$. Cette somme est égale à : a. \sum_{1\leq i\leq j\leq n} ij&=&\sum_{j=1}^n j\left(\sum_{i=1}^j i\right)\\ On en déduit que le coefficient devant $a^2b^4c$ est Propri´et´es ´el´ementaires des fonctions Γ et Bet application `a une formule sommatoire 13. &=&\frac{(n-1)!\times\frac12\times (n+1)!}{(n! $$\frac{(1+x)^{n+1}-1}{n+1}=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1}\binom nk x^{k+1}.$$ Contrôle des connaissances. $$P_n(x)=\frac {x+n}xP_n(x-1).$$. $$\binom{7}{1}\times\binom{6}2=7\times\frac{6\times 5}2=105.$$, On développe $(1+t)^n$ avec la formule du binome : Anneaux; Calculs algébriques - sommes et produits . au rang $n+1$. $$\sum_{k=0}^{n} u_{kn}=\sum_{k=0}^n (-2^n)^k=\frac{1-(-2)^{n(n+1)}}{1-(-2)^n},$$ On distingue là encore le cas $x=1$. Les espaces de fonctions int´egrables 82 1. $$(a+b+c)^7=\sum_{k=0}^7\binom{7}k(a+b)^{7-k}c^k.$$ sauf si $n=0$ auquel cas la somme vaut $u_0=1$. $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{a^{n+1}}{a^n}\times \frac{n!}{(n+1)! $$(1-i)^4=1-4i-6+4i+1=-4.$$. $\sum_{p=0}^n \binom np=2^n.$, On va utiliser la formule du binôme. Une méthode naturelle pour démontrer cette propriété est de procéder par récurrence sur $n$. 13+5 c. 13-5 d. 13/5 là, je n'ai rien mis car je ne sais pas quoi mettre 3. État : Occasion. $$S_n=\sum_{k=1}^n (-1)^k k=\frac{(-1)^n (2n+1)-1}{4}.$$ $$(1+i)^5=1+5i-10-10i+5+i=-4-4i.$$ On a $P_n(0)=1$ (on ne fait que des produits de 1), $P_n(-n)=0$, car alors Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 I Montrer que les nombres suivants sont irrationnels. Corrigé : Vrai. &=&A_nB_n-\sum_{k=0}^{n-1} A_k b_k. Calculer les sommes suivantes : La propriété est donc aussi vraie au rang $n+1$. Que valent $P_n(0)$, $P_n(1)$, $P_n(-n)$? Or $(−1)^{2p−1}(2p − 1) + (−1)^{2p}2p = 2p − (2p − 1) = 1$ pour tout $1\leq p\leq n$, donc la somme est égale à $n$. Les symboles å et Õ ... Cet exercice est consacré aux sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou d’une suite géomé-trique. Soit $n\geq 1$. &=&\left(n+\frac 12\right)\frac{n(n+1)}2-\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}\\ $$\frac 1{(k+2)(k+3)}=\frac1{k+2}-\frac 1{k+3}.$$, On commence par remarquer que $$(3+2\sqrt 2)^{n+1}=(3+2\sqrt 2)^n (3+2\sqrt 2)=(x_n+\sqrt 2 y_n)(3+2\sqrt 2)=(3x_n+4y_n)+(2x_n+3y_n)\sqrt 2.$$ Quel est le coefficient de $a^2b^4c$ dans le développement de $(a+b+c)^7$? $$\sum_{k=1}^n x_k=n\textrm{ et }\sum_{k=1}^n x_k^2=n.$$ Vous constatez des erreurs sur la fiche, si vous êtes le poissonnerie, la méthode la plus simple de mettre à jour les informations est de s'inscrire en cliquant ici, c'est gratuit et cela vous permettra de renseigner toutes les informations nécessaires et de les mettre à jour lorsque vous le souhaitez.Vous pourrez également ajouter un lien vers votre site web, votre logo et des photos. Il vient Puisque $n\leq n+1$, on obtient bien \begin{eqnarray*} et $(-1)^{n-k}=-1$. 1 Fonctions circulaires inverses Exercice 1 Vérifier arcsin x + arccos x = Indication H Correction H π 2 arctan x + arctan et 1 π = sgn(x) . On convient que $A_{-1}=0$. Manipulation des symboles sommes et produits. \begin{eqnarray*} Alors : ∀ n ∈ , S n = a n+1 – a 0, et l’équivalence ainsi que la valeur de la limite en découle. (ce qui implique $p=0$). $(3+2\sqrt 2)^n =x_n+\sqrt 2 y_n.$. Développer $(3+2\sqrt 2)^{n+1}$ de deux façons différentes. Pour $x=1$, $S_n(1)=n+1$. }\ \quad\mathbf 3.\ \frac{n+2}{(n+1)! On raisonne alors exactement comme pour la première somme : $$(n+1)!\geq\sum_{k=1}^n k!\quad.$$. D'autre part, on écrit Lire la suite des prix (en euros entiers et terminée par zéro) des achats d’un client. différentes $(1+x)^m$, démontrer que $$\sum_{k=1}^1 (-1)^k k=-1\textrm{ et }\frac{(-1)^1 (2\times 1+1)-1}{4}=-1$$ On reconnait une somme géométrique de raison $x$. On calcule alors $S_n'(x)$ avec la formule obtenue à la question précédente et on trouve $$(a+b)^6=\sum_{k=0}^6\binom{6}{k}a^kb^{6-k}.$$ Démontrer que pour tout réel non-nul $x$, on a Il existe trois réels tels que On obtient en évaluant en , donc . Et en évaluant en : ce qui donne et ssi et . Exo7 : Cours et exercices de mathématiques -- Première anné . Définition Vidéo ç partie 2. On va chercher le coefficient devant $x^p$ de $(1+x)^m$. \textrm{ vaut }2(n+1)\ \ \mathbf c.\ \textrm{vaut }2n.$$, La somme $\sum_{p=0}^{2n+1}(-1)^p$ est égale à On a donc On somme $(n+1)$ fois le nombre 2. Supposons la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire que pour tout $p\leq n$, la formule donnée est vérifiée. La formule est clairement vraie pour $n=0$ Si $p=n+1$, la formule est aussi vérifiée. Pour $n\in\mathbb N$, on note Colles : 40% (la moyennes des cinq meilleures notes) ... Feuille 2 “Récurrences, sommes et produits”: Exos 9 et 10. On va développer de deux façons différentes $(3+2\sqrt 2)^{n+1}$. \begin{eqnarray*} $$a_{n+1}=a_n+(n+1)=\frac{n(n+1)}2+(n+1)=(n+1)\times\left(\frac n2+1\right)=\frac{(n+1)\big((n+1)+1\big)}2.$$ En développant de deux façons En regroupant les termes pour lesquels $n-k$ est pair, on trouve $x_n$ et en regroupant les termes pour lesquels $n-k$ est impair, on trouve $y_n\sqrt 2$. Or, $(\sqrt{2})^{n-k}$ est ou bien égal à un entier naturel (non nul) si $n-k$ est pair, ou de la forme $m\sqrt 2$, avec $m\in\mathbb N^*$ si $n-k$ est impair. Nous avons besoin de votre aide! puisque la somme de droite est une somme de termes constants. 1250 exercices corrigés de mathématiques pour Mpsi et Pcsi. Ainsi, on a &=&\frac 12-\frac 1{n+3}. peut donc avoir lieu au plus pour deux valeurs de $q$, l'une avec $q$ dans $0,\dots,\frac{n-1}2$, l'autre avec $q$ supérieur ou égal à $\frac{n+1}2$. . Fondateur de la marque de vêtements EXO7 destinés à la pratique du Motocross mais aussi de l'avant et après course. Attention. Vendredi 14 septembre : Feuille 3 “Logique et raisonnement”: Exos 4, 5 et 8. }=(n+3)(n+2).$$, On a Il vient : Questio… 1. $$(n+1)!-n!=(n+1)n!-n!=(n+1-1)n!=n\times n!$$, On a $$(1+i)^{4n}=\sum_{p=0}^{2n}(-1)^p \dbinom{4n}{2p}+i\sum_{p=0}^{2n-1}(-1)^p \dbinom{4n}{2p+1}.$$ $$P_n(p)=\prod_{k=1}^n \frac{k+p}{k}=\frac{(p+1)\dots (p+n)}{n!}=\frac{(n+p)!}{n!p!}=\binom{n+p}{p}.$$. \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} Alors on a $$\binom{m}{p}=\binom{m-q}p+\binom{q}1\binom{m-q}{p-1}+\dots+\binom{q}k\binom{m-q}{p-k}+\dots+\binom{m-q}{p-q}.$$. Le coefficient devant $x^p$ est alors obtenu en prenant les produits des termes en $x^j$ et $x^l$ avec $l=p-j$. Bonne route . }\times \frac{(p+1)! Sinon, on dérive $S_n$ : pour tout $x\neq 1$, Statistiques descriptives : résumés et exercices IED/Université de Paris8 R2440T 7 Pour chacun des comptes-rendus de recherche suivants, nous vous demandons de décrire le protocole (individus statistiques, variables et structure du protocole) et les objectifs statistiques de la recherche. $$\sum_{k=0}^{2n} (u_{k}+n)=\sum_{k=0}^{2n} u_k+\sum_{k=0}^{2n} n=\frac{1+2^{2n+1}}3+n(2n+1).$$ Exo7 propose aux étudiants des cours de maths, des exercices avec corrections et des vidéos de mathématique avec niveau L1/Math Sup, L2/Math Spé, L3/Licence. Variables al´eatoires ind´ependantes * 77 14. }{p\times (p-1)!(n-p)!}=\frac{n}p\times\frac{(n-1)!}{(p-1)!\big((n-1)-(p-1)\big)! On utilise si , et . \begin{eqnarray*} Séries de Fourier Exo7 Emath fr Développer en série de FOURIER les fonctions suivantes puis déterminer la valeur des sommes indiquées : 1) (**) f : R → R Correction de l'exercice 1 Α. $$\left(1-\frac1{k^2}\right)=\frac{k^2-1}{k^2}=\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}.$$ Ces solutions sont distinctes sauf si Soient $n,p$ des entiers naturels avec $n\geq p$. \sum_{k=p}^{n+1}\dbinom{k}{p}&=&\sum_{k=p}^n \dbinom{k}{p}+\dbinom{n+1}{p}\\ $$S_n'(x)=\sum_{k=1}^n kx^{k-1}\implies T_n(x)=xS_n'(x).$$ \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} Les corriger lorsqu’elles sont fausses. &=&\frac{i(i+1)}2+(n-i)i\\ Soit $p\geq 1$. On somme $(n+1)$ fois le nombre 1 (pour les $p$ correspondant à $0,2,\dots 2n$), et $(n+1)$ faut le nombre $-1$ (pour les $p$ correspondant à $1,3,\dots,2p+1$). &=&\dbinom{n+1}{p+1}+\dbinom{n+1}{p}\textrm{ (hypothèse de récurrence)}\\ Il suffit donc de démontrer que, pour tout entier $n$, on a $x_n^2-2y_n^2=1$. \prod_{k=2}^n \left(1-\frac1{k^2}\right)&=&\frac{\prod_{k=2}^n (k-1)\prod_{k=2}^n (k+1)} $$\frac{p+1}{n-p}<1\iff p<\frac{n-1}2.$$. On obtient donc }\ \quad\mathbf 4.\ \frac{u_{n+1}}{u_n}\textrm{ où }u_n=\frac{a^n}{n!b^{2n}}.$$. $$\frac{P}{p!}=\frac{m(m-1)\dots(m-p+1)}{p! \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} 12 7. \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} Démontrer que, pour tout $k$ dans $\{1,\dots,n\}$, $x_k=1$. Calculer $\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \min(i,j)$. Simplifier la somme $\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k k$ en faisant des sommations par paquets. (*) $$x_n^2-2y_n^2=(x_n-\sqrt 2 y_n)(x_n+\sqrt 2 y_n)=(3-2\sqrt 2)^n(3+2\sqrt 2)^n =1^n=1.$$. Soit (S n) la suite des sommes partielles de la série ∑un. Application de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz 82 En déduire la valeur de $\sum_{k=0}^n 2^kk$. On fait le quotient des deux nombres : }\left(\frac{n+2}{n+1}-1\right)=\frac 1{(n+1)! On remarque alors que si $k=2p$ est pair, $i^k$ est réel et vaut $(-1)^p$. \end{eqnarray*}, Démontrer que $\sum_{k=0}^n a_kB_k=A_n B_n-\sum_{k=0}^{n-1}A_kb_k.$. + > = n+1 2n 2n 2 La suite des sommes partielles n’est pas de Cauchy (car 12 n’est pas inférieur à ε … C'est donc un entier, ce qui signifie que $p!$ divise $P$. 6) Sachant que u20 =−52 et u51 =−145, explicitez un 7) Sachant que u22 =15 et 3 4 r =, explicitez un 8) Sachant que u0 =3 et que uu20 = 10 +25, explicitez un 9) Une suite arithmétique u est telle que uu23++u4=15 et u6 =20.Calculez u0 Exercice n°4. Corrigé : Vrai. Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. &=&\sum_{j=1}^n ja_j\\ Soit $p\in\{0,\dots,n\}$. Sommes, produits, récurrence ECE3 Lycée Carnot 18 septembre 2010 Pour ce deuxième chapitre, un peu de théorie, puisque celui-ci av nous permettre de dé nir quelques notations et méthodes supplémentaires qui nous seront bien utiles par la suite (ou peut- &=&2^{n+1}(n-1)+2. Pour quels entiers $p\in\{0,\dots,n-1\}$ a-t-on $\binom np<\binom n{p+1}$. Les relations suivantes sont- elles vraies ? Toutes les feuilles d'exercices sont fournies en format PDF (directement visualisable et imprimable) ainsi qu'en format source LuaTeX. Puisque les suites sont strictement croissantes, les couples $(x_n,y_n)$ sont tous différents. Frais de port. $$\mathbf 1.\ (n+1)!-n!\ \quad\mathbf 2.\ \frac{(n+3)!}{(n+1)! On calcule les coefficients binômiaux par exemple en utilisant le triangle de Pascal. Nous personnalisons nos produits à l'unité selon vos désirs et vos besoins . $$\binom np=\binom nq$$ \end{array}$$, Les sommes et produits sont "télescopiques", c'est-à-dire que de nombreux termes font se simplifier. Enfin, Question 1 Si , . \begin{eqnarray*} }{n(n-1)\dots(n-p+1)(n-p)}=\frac{p+1}{n-p}.$$ Pour chaque question, une seule réponse est juste. La bonne réponse est b. On en déduit que 4 CHAPITRE 1. Calculer $(1+i)^{4n}$. C'est, bien sûr, la représentation vectorielle d'une fonction ou vecteur de . $$\mathbf a.\ 1\ \ \mathbf b.\ -1\ \ \mathbf c.\ 0.$$, Le produit $\prod_{i=1}^n (5a_i)$ est égal à Rappelons que le coefficient binomial est lui aussi un entier. Remplacer $a_k$ par $A_k-A_{k-1}$. $$\sum_{k=0}^{2n} u_{k}=\sum_{k=0}^{2n}(-2)^k=\frac{1-(-2)^{2n+1}}{1-(-2)}=\frac{1+2^{2n+1}}3.$$ Groupes Exo7 Vidéo ç partie 1. \begin{eqnarray*} &=&\sum_{k=2}^{n+1}\ln(k)-\sum_{k=1}^n \ln (k)\\ On définit deux suites $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ en posant : On utilise si , Question 5 Si et , . Probabilités. $$\mathbf a.\ 5\prod_{i=1}^n a_i\ \ \mathbf b.\ 5^n\prod_{i=1}^n a_i\ \ \mathbf c.\ 5^{n-1}\prod_{i=1}^n a_i.$$. Calculs algébriques - sommes et produits - formule du binôme. Aujourd'hui, Exocet et XO Sails se positionnent comme faisant partie des marques de windsurf les plus innovantes et à la croissance la plus rapide du secteur, offrant une gamme polyvalente de produits allant des concepts d'entrée de gamme éprouvés aux machines de course ultra avancées. Bac S – Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019, Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019, Bac S – Nouvelle Calédonie – Février 2020, Bac S – Nouvelle Calédonie – Décembre 2020, Bac ES/L – Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019, Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2019, Bac ES/L – Amérique du Sud – Novembre 2019, Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019, Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2020, Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Décembre 2020, Bac STMG – Centres étrangers / Pondichéry – Juin 2019, Bac STMG – Antilles Guyane – Septembre 2019, Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019, Bac STMG – Antilles Guyane – Septembre 2020, Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2020, DNB – Centres étrangers, Pondichéry – Juin 2019, DNB – Métropole Antilles Guyane- Septembre 2020. Merci énormément d'encourager ce projet universitaire. La vente de chandails EXO7 et de café Hubert Saint-Jean se termine ce dimanche, 18 Octobre! On en déduit que }\times\frac {b^{2n}}{b^{2n+2}}=\frac{a}{(n+1)b^2}.$$. $\binom np=\binom nq$? Le reste am−rXr − am est nul dans deux cas possibles : d’une part si a = 0, d’autre part si r = 0, c’est-à-dire si p divise m. Exercice 5 Soit un nombre réel θ et un entier n ≥ 1. L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques 1 Enoncés Exercice 1 Soient ∑ an et bn deux séries à termes strictement positifs véri ant : 9n 2 N: 8n n ; an+1 an bn+1 bn Montrer que (1) si ∑ bn converge, alors an converge; (2) si ∑ an diverge, alors bn diverge. \begin{eqnarray*} Par différence, Il ne reste que les termes pour avec , donc . Poser, pour $i$ fixé, $S_i=\sum_{j=1}^n \min(i,j)$ et calculer la valeur de $S_i$. On en déduit le résultat demandé. est vraie pour $n=0$ (une somme vide est par convention égale à 0). Retrouver le résultat précédent. Ce produit s'écrit encore $P=m(m-1)\dots (m-p+1)$. Ceci est inférieur strict à $1$ si et seulement si Pour cet exercice, on admettra que $\displaystyle a_n=\frac{n(n+1)}2$, que $\displaystyle b_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ et que $c_n=a_n^2$. Initialisation : On commence par vérifier la propriété pour $n=1$. $$\begin{array}{lcl} $$\frac{2^{n+1}-1}{n+1}=\sum_{k=0}^n \frac1{k+1}\binom nk.$$. Pour $n\in\mathbb N$, on note \mathbf 1.\ \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac 1k\right)&\quad\quad&\mathbf 2.\ \prod_{k=2}^n \left(1-\frac1{k^2}\right)\\ \sum_{k=0}^n k2^k&=&(2^{n+1}-1)n-\sum_{k=0}^{n-1}(2^{k+1}-1)\\ Bien observer les notations, et se rappeler de la formule donnant une somme géométrique. Corrigé: Faux. \end{eqnarray*} Animation EXO7 est recommandé par 100% des couples qui ont fait appel au service de ce prestataire. C'est une conséquence de la formule du binôme. Voici les énoncés et les corrigés des 6 exercices de probabilités sur 18 qui peuvent être traités en maths sup. Pour $p\in\mathbb N^*$, écrire $P_n(p)$ comme coefficient du binôme. Calculer $\displaystyle \sum_{1\leq i\leq j\leq n} ij$. Prouver que $x_n^2-2y_n^2=1$ en utilisant $(3-2\sqrt 2)^n$. Pour $x\neq 1$, on a Nous sommes tous enfants de Gaïa, notre Terre-Mère. $j$ parcourt donc l'intervalle $\{0,\dots,q\}$ et on a : Or, on a bien deux solutions, qui sont $q=p$ et $q=n-p$. Mettre $(1+i)$ sous forme trigonométrique. On en déduit }=\frac 1{n! $$(1+i)^{4n}=2^{2n}e^{in\pi}=(-1)^n 4^n.$$ La question précédente montre que la suite des coefficients binômiaux $\binom nq$ croît strictement avec $q$ pour $q$ allant de $0$ à $\frac{n-1}2$ et on montrerait de la même façon qu'elle décroît strictement pour $q$ allant de $\frac{n+1}2$ à $n$. Démontrer que $\displaystyle a_n=\frac{n(n+1)}2$, que $\displaystyle b_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ et que $c_n=a_n^2$. En déduire la valeur de $T_n(x)=\sum_{k=0}^n k x^k.$. L’ensemble $\{1, . Certains exercices comportent un corrigé ou les réponses aux calculs demandés. Posons $m=n+p-1$. Corrigé : L’affirmation est vraie si et fausse pour . \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} Soient n ‚ 2, p 2 J1,n ¡1K.Il est parfois utile de considérer une matrice de }=\binom mp.$$ Elle $$, Manipulation des symboles sommes et produits. $$\ln\left(1+\frac 1k\right)=\ln\left(\frac{k+1}k\right)=\ln(k+1)-\ln k.$$ On sait que 7+9(ce que j'ai mis) b. Il vient alors $$T_n(x)=x\frac{nx^{n+1} −(n+1)x^n +1}{ (x−1)^2}.$$. \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} À nouveau, clair car la suite des sommes partielles associée à P (λan + b n) n’est autre que (λA∗ N + B ∗ N)N, et l’on a la linéarité de la limite des suites. $(1+x)^m=(1+x)^{q}(1+x1)^{m-q}$, et calculer le coefficient devant $x^p$. \mathbf 3.\ \sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+2)(k+3)}. $$a_n=\sum_{k=1}^n k,\ b_n=\sum_{k=1}^n k^2\textrm{ et }c_n=\sum_{k=1}^n k^3.$$ $$(3+2\sqrt 2)^n =\sum_{k=0}^n \binom nk3^k 2^{n-k}(\sqrt 2)^{n-k}.$$ \end{eqnarray*}, Soient $n,p\geq 1$. Simplifier les sommes et produits suivants : \end{eqnarray*} Prouvons-la au rang $n+1$. Séparer en un produit au numérateur et un produit au dénominateur. Cette association loi 1901 ou assimilé fondée en 2012 ayant comme SIRET le numéro 842479198 00017, recensée C'est une conséquence de la formule du binôme. $$\sum_{k=0}^{n} u_{k+n}=\sum_{k=0}^n (-2)^{k+n}=(-2)^n\sum_{k=0}^n (-2)^k=\frac{(-2)^n(1-(-1)^{n+1} 2^{n+1})}{3}.$$ $$(3+2\sqrt 2)^{n+1}=x_{n+1}+\sqrt 2y_{n+1}.$$ La réponse correcte est . ce qui est bien le résultat demandé. Question 3 Soit . Le terme devant $a^2b^4c$ ne peut être issu que du produit Chacune de ces 45 magnifiques cartes et son livre d'accompagnement vous aideront à trouver les réponses aux questions que vous vous posez. Exercices corrigés - Exercices - Algèbre. et donc on a un terme nul dans le produit. $$\sum_{p=0}^{2n}(-1)^p \dbinom{4n}{2p}\textrm{ et }\sum_{p=0}^{2n-1}(-1)^p \dbinom{4n}{2p+1}.$$. Pour cela, il suffit de remarquer que &=&\sum_{i=1}^n \left(n+\frac 12\right)i-\frac{i^2}2\\ Plus précisément. En effet, on a Utiliser une expression des coefficiens binômiaux. Exercice 1 - QCM [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé . )^2}\\ Soit $n\geq 1$ et $x_1,\dots,x_n$ des réels vérifiant Calculer la somme qu’il doit, lire la somme qu’il paye, et simuler la remise de la monnaie en affichant les textes "10 Euros", "5 Euros" et "1 Euro" autant de fois qu’il y a de coupures de chaque sorte à rendre. $$a_n=\sum_{k=1}^n k,\ b_n=\sum_{k=1}^n k^2\textrm{ et }c_n=\sum_{k=1}^n k^3.$$ Utiliser que $k!\leq n!$ pour $k\in\{1,\dots,n\}$. Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation $x^2-2y^2=1$ admet une infinité de solutions avec $x,y$ des entiers naturels.